|
Arabic
Bengali
Chinese
English
French
German
Hebrew
Hindi
Italian
Japanese
Korean
Malay
Polish
Portuguese
Spanish
Turkish
Ukrainian
Vietnamese
NAJWAŻNIEJSZE ODKRYCIA NAUKOWE
Geometria nieeuklidesowa. Historia i istota odkryć naukowych
Katalog / Najważniejsze odkrycia naukowe Na definicja Euklidesa linie równoległe to linie proste, które leżą w tej samej płaszczyźnie i nigdy się nie spotykają, bez względu na to, jak daleko je wydłużymy. Ale już najdawniejsi komentatorzy Euklidesa, Posidoniusza (II wpne), Geminusa (I wpne), Ptolemeusza (II wne) - nie uważali, że piąty postulat Euklidesa ma te same dowody, co inne postulaty i aksjomaty Euklidesa , i próbował albo wywnioskować to na podstawie innych przepisów, albo zastąpić definicję paraleli podaną przez Euklidesa inną definicją. W drugiej połowie XVII wieku Leibniz również krytycznie odnosi się do głównych postanowień Euklidesa. Jak dobrze wiadomo, chciał również skonstruować czysto geometryczną analizę, która bezpośrednio wyrażałaby własności pozycji, tak jak algebra wyraża wielkość. Ale dopiero w pierwszej połowie XVIII w. pojawił się pomysł, aby zastosować do zagadnienia linii równoległych i systematycznie realizować w teorii linii równoległych tę metodę dowodu przez sprzeczność, tak często używaną przez greckich matematyków. Ten genialny pomysł należał do Saccheriego. W ukazanym w roku śmierci dziele „Euklides, wybawiony z każdego miejsca” Saccheri bierze za punkt wyjścia czworobok, którego dwa przeciwległe boki, prostopadłe do podstawy, są sobie równe. W takim czworokącie kąty utworzone przez równe boki z bokiem przeciwnym do podstawy są równe, a dowód tej własności czworoboku nie zależy od postulatu Euklidesa. Jeśli są to linie proste, to postulat Euklidesa jest udowodniony, ponieważ w tym przypadku suma kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. Ale Saccheri (i to jest jego oryginalny genialny pomysł) stawia również dwie inne hipotezy - hipotezę kąta ostrego i hipotezę kąta rozwartego, wyprowadza z tych hipotez wynikające konsekwencje i stara się udowodnić niemożliwość tych konsekwencji, tj. dopuszczalność tylko jednej hipotezy kąta prostego. Z łatwością udaje mu się udowodnić, że hipoteza kąta rozwartego jest nieważna, ponieważ prowadzi do sprzeczności. Aby znaleźć tę samą sprzeczność w hipotezie kąta ostrego, wyprowadza szereg niezwykłych twierdzeń, które zostały później ponownie udowodnione przez Legendre'a. Takie są na przykład twierdzenia, zgodnie z którymi jeśli jedna lub druga hipoteza zachodzi dla jednego czworoboku, to obowiązuje również dla każdego innego. Trzy lata po jego pojawieniu się, w 1766, Lambert stawia ten sam problem co Saccheri. Zamiast czworokąta z dwoma kątami prostymi i dwoma równymi bokami, Lambert rozważa czworokąt z trzema kątami prostymi i stawia trzy hipotezy dotyczące czwartego kąta. Jego ekspozycja ma pewne osobliwości w porównaniu z Saccheri: unika uciekania się do argumentów opartych na ciągłości. Z faktu, że w hipotezach kąta rozwartego i ostrego nie ma podobieństwa figur, Lambert wyprowadza wniosek o istnieniu miary bezwzględnej. W 1799 genialny matematyk Carl Gauss poszedł drogą, którą szli przed nim Saccheri i Lambert - drogą systematycznego wyprowadzania wszystkich konsekwencji hipotezy kąta ostrego. Ale jego refleksje doprowadziły do wątpliwości co do możliwości udowodnienia aksjomatu Euklidesa i do 1816 roku matematyk był przekonany, że taki dowód jest niemożliwy. Opinia publiczna Gaussa o niedowodliwości aksjomatu Euklidesa nie miała żadnego wpływu i była nawet poddawana brutalnym atakom. Był to jeden z powodów, dla których zdecydował się nie publikować swoich badań i przemyśleń w kwestii fundacji, „z obawy przed krzykiem Beotian” (list do Bessela z 27 stycznia 1829 r.). Nie przerwał jednak swoich badań iz największym zainteresowaniem i sympatią przyjął te prace i przemyślenia, które zbiegały się z jego badaniami i poglądami. Jak daleko zaszedł na tej drodze, pokazuje jego list do Wolfganga Bolyai z 6 marca 1832 r., w którym Gauss mówi, że między 1797 a 1802 r. znalazł wyniki, do których doszedł Johann Bolyai. Na przykład czysto geometryczny dowód twierdzenia, że w geometrii nieeuklidesowej różnica między sumą kątów trójkąta od 180 stopni jest proporcjonalna do powierzchni trójkąta. Wolfgang Bolyai, szkolny przyjaciel Gaussa, wykazał duże zainteresowanie teorią linii równoległych. To niezwykłe zainteresowanie, zgodnie z jego listem do syna z 1820 roku, zatruło mu wszystkie radości życia, uczyniło go męczennikiem pragnienia uwolnienia geometrii od plam, „usunąć chmurę, która przesłania piękno dziewicy-prawdy”. Ale podczas gdy wysiłki prawie całego życia jego ojca skierowane były na dowód V postulatu i nie udało mu się osiągnąć celu, jego utalentowany syn był jednym z twórców geometrii nieeuklidesowej. Johann Bolyai urodził się w 1802 roku w Klausenburgu. Już w 1807 roku jego ojciec z zachwytem i dumą pisał do Gaussa o niezwykłych zdolnościach matematycznych chłopca, który w wieku trzynastu lat studiował już planimetrię, stereometrię, trygonometrię, przekroje stożkowe, a w wieku 14 lat rozwiązywał już z łatwością zagadnienia rachunku różniczkowego i całkowego. Wolfgangowi nie udało się wysłać syna na studia do Getyngi z „matematycznym kolosem”, aw 1818 Johann wstąpił do Wiedeńskiej Akademii Inżynierskiej, gdzie wiele uwagi poświęcono wyższej matematyce. W 1823 ukończył studia w akademii i jako inżynier wojskowy został wysłany do twierdzy Temetvar. To całkiem naturalne, że Johann, który jako chłopiec posiadał niezwykłe zdolności matematyczne, postanowił spróbować swoich sił w rozwiązaniu problemu, nad którym dręczony był jego ojciec, ale o którym ojciec powiedział mu, że ktokolwiek go rozwiązał, jest godny diamentu wielkość kuli ziemskiej. W 1820 roku Johann informuje ojca, że znalazł już sposób na udowodnienie aksjomatu, po czym ojciec pisze do niego gorący list, ostrzegający go przed angażowaniem się w teorię linii równoległych. Pewnej zimowej nocy w 1823 r. odkrył podstawową zależność między długością prostopadłej opuszczonej z punktu do linii prostej a kątem, jaki tworzy asymptota (linia równoległa) z tą prostopadłą Łobaczewski), który jest kluczem do trygonometrii nieeuklidesowej. Entuzjastycznie nastawiony do swojego odkrycia, które wydawało mu się otwierać drogę do dowodu Aksjomatu XI, pisze 3 listopada od Temetvara do ojca: „Stworzyłem nowy, inny świat z niczego. Wszystko, co do tej pory wysłałem jest tylko domkiem z kart w porównaniu z wieżą, która właśnie powstaje”. W 1829 Wolfgang ukończył duży esej matematyczny, nad którym pracował przez około dwadzieścia lat. Jako dodatek do tej książki opublikowano także nieśmiertelne dzieło Johanna Boliai. Oczywiście Boliai nie podejrzewał, że w tym samym czasie w odległym Kazaniu Łobaczewski publikuje swoją pierwszą pracę „O zasadach geometrii” (1829). Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (1792–1856) urodził się w powiecie Makaryewskim w prowincji Niżny Nowogród. Jego ojciec zajmował stanowisko architekta powiatowego i należał do szeregu drobnych urzędników, którzy otrzymywali mizerne zasiłki. Bieda, która go otaczała w pierwszych dniach życia, przerodziła się w biedę, gdy w 1797 roku zmarł jego ojciec, a jego dwudziestopięcioletnia matka została sama z dziećmi bez środków do życia. W 1802 r. sprowadziła do Kazania trzech synów i przydzieliła ich do Gimnazjum Kazańskiego, gdzie szybko zauważono fenomenalne zdolności jej środkowego syna. Kiedy w 1804 r. starsza klasa gimnazjum w Kazaniu została przekształcona w uniwersytet, Łobaczewski został włączony do liczby studentów wydziału przyrodniczego. Młody człowiek studiował znakomicie. Łobaczewski otrzymał doskonałe wykształcenie. Wykłady z astronomii odczytywał prof. Litroff. Wysłuchał wykładów z matematyki profesora Bartelsa, ucznia tak wybitnego naukowca jak Carl Friedrich Gauss. Już w 1811 r. Łobaczewski uzyskał tytuł magistra i został na uniwersytecie, aby przygotować się do profesury. W 1814 Łobaczewski otrzymał tytuł współpracownika matematyki czystej, aw 1816 został profesorem. Od 1819 Łobaczewski uczył astronomii. Działalność administracyjna naukowca rozpoczęła się w 1820 r., kiedy został wybrany dziekanem. Pomimo wyczerpującej działalności praktycznej, która nie pozostawiła ani chwili odpoczynku, Łobaczewski nigdy nie przerwał studiów naukowych i podczas swojej rektoratu publikował swoje najlepsze prace w Notatkach Naukowych Uniwersytetu Kazańskiego. Jeśli Johann Bolyai zaczął studiować teorię linii równoległych pod wpływem swojego ojca, Lobachevsky mógł zacząć ją studiować tylko dlatego, że zainteresowanie tą teorią szczególnie odrodziło się pod koniec XVIII i na początku XIX wieku. W dwudziestą piątą rocznicę poprzedzającą pojawienie się pierwszej pracy Łobaczewskiego nie minął rok bez pojawienia się jednej lub kilku prac dotyczących teorii linii równoległych. Znanych jest do 30 prac, wydrukowanych tylko w języku niemieckim i francuskim w latach 1813-1827. Praca Legendre'a wzbudziła zainteresowanie teorią linii równoległych również wśród rosyjskich matematyków. Pierwszy rosyjski akademik, który zasłużył sobie na zaszczytne miejsce w historii rosyjskiego nauczania matematycznego swoimi opublikowanymi pracami, CE. Guryev w swoim najważniejszym dziele, Eseju o doskonaleniu elementów geometrii, opublikowanym w 1798 r., zwracał szczególną uwagę na teorię linii równoległych i dowody podane przez Legendre'a. Krytykując te dowody, Guriev przedstawia własne. Opierając się na stwierdzeniu, że w pewnych warunkach linie, które wydają się równoległe do nas, mogą się przecinać, Łobaczewski doszedł do wniosku, że możliwe jest stworzenie nowej, spójnej geometrii. Ponieważ jego istnienie było niemożliwe do wyobrażenia w prawdziwym świecie, naukowiec nazwał go „geometrią wyobrażoną”. Ale on, podobnie jak I. Boliai, nie od razu wpadł na ten pomysł. Wykłady z lat 1815–1817, podręcznik do geometrii z 1823 r. oraz „Exposition succincte des principes de la geometrie”, która do nas nie dotarła, odczytano na posiedzeniu Wydziału Fizyki i Matematyki 12 lutego 1826 r. są trzy etapy myśli Łobaczewskiego w dziedzinie teorii linii równoległych. W wykładach podaje trzy różne sposoby uzasadnienia tego; w podręczniku z 1823 r. oświadcza, że wszystkie dotychczas podane dowody nie zasługują na honor w pełnym sensie matematyki, i wreszcie, trzy lata później, podaje już ten system konstruowania geometrii na pozycji innej niż postulat Euklidesa. , który uwiecznił jego imię. „Ekspozycja” do nas nie dotarła. Pierwsza drukowana praca Łobaczewskiego, którą nazywa fragmentem Wystawy, została opublikowana w Kazaniu Vestnik w latach 1829-1830. Data ta ustala pierwszeństwo publikacji odkrycia Łobaczewskiego w porównaniu z I. Boliajem, ponieważ jego „Dodatek” został opublikowany w 1831 roku, a nakład wyszedł dopiero w 1832 roku. Jak wskazuje tytułowa „Wystawa”, miała ona za przedmiot nie tylko dokładną teorię prostych równoległych, ale także była poświęcona zagadnieniu zasad geometrii. Chociaż zarówno I. Boliai, jak i Łobaczewski zostali wybrani na członków Hannover Academy of Sciences za to odkrycie, to geometria Łobaczewskiego otrzymała prawa obywatelskie w Europie Zachodniej. W 1837 roku prace Łobaczewskiego zostały opublikowane w języku francuskim. W 1840 opublikował po niemiecku swoją teorię paraleli, która zyskała uznanie wielkiego Gaussa. W Rosji Łobaczewski nie widział oceny swoich prac naukowych. Oczywiście badania Łobaczewskiego wykraczały poza zrozumienie jego współczesnych. Niektórzy go ignorowali, inni witali jego pracę niegrzecznym drwinami, a nawet besztaniem. Podczas gdy nasz drugi wysoce utalentowany matematyk Ostrogradski cieszył się zasłużoną sławą, nikt nie znał Łobaczewskiego; Sam Ostrogradsky traktował go szyderczo lub wrogo. Całkiem poprawnie, a raczej dokładnie, jeden geometr nazwał geometrią Łobaczewskiego geometrią gwiazdową. Można wyrobić sobie wyobrażenie o nieskończonych odległościach, pamiętając, że istnieją gwiazdy, z których światło dociera do Ziemi przez tysiące lat. Tak więc geometria Łobaczewskiego obejmuje geometrię Euklidesa nie jako szczególny, ale jako szczególny przypadek. W tym sensie pierwszą można nazwać uogólnieniem znanej nam geometrii. Teraz pojawia się pytanie, czy Łobaczewski jest właścicielem wynalazku czwartego wymiaru? Zupełnie nie. Geometria czterech i wielu wymiarów została stworzona przez niemieckiego matematyka, ucznia Gaussa, Riemanna. Badanie własności przestrzeni w postaci ogólnej stanowi teraz geometrię nieeuklidesową, czyli geometrię Łobaczewskiego. Przestrzeń Łobaczewskiego jest przestrzenią trzech wymiarów, która różni się od naszej tym, że postulat Euklidesa nie jest w niej realizowany. Właściwości tej przestrzeni są teraz rozumiane poprzez przyjęcie czwartego wymiaru. Ale ten krok już należy do zwolenników Łobaczewskiego. Naturalnie pojawia się pytanie, gdzie jest taka przestrzeń. Odpowiedzi udzielił na to największy fizyk XX wieku Alberta Einsteina. Na podstawie prac Łobaczewskiego i postulatów Riemanna stworzył teorię względności, która potwierdziła krzywiznę naszej przestrzeni. Zgodnie z tą teorią każda masa materiału zakrzywia otaczającą przestrzeń. Teoria Einsteina została wielokrotnie potwierdzona obserwacjami astronomicznymi, w wyniku których stało się jasne, że geometria Łobaczewskiego jest jedną z podstawowych idei dotyczących otaczającego nas wszechświata. Autor: Samin D.K.
▪ Teoria ewolucji świata organicznego
Hałas drogowy opóźnia rozwój piskląt
06.05.2024 Bezprzewodowy głośnik Samsung Music Frame HW-LS60D
06.05.2024 Nowy sposób kontrolowania i manipulowania sygnałami optycznymi
05.05.2024
▪ Maskowanie termiczne dla elektroniki ▪ Odkryto gwiazdy tworzące złoto ▪ Klawiatura komputerowa w kształcie litery U
▪ część witryny Uwaga dla ucznia. Wybór artykułu ▪ artykuł Studiuj, ucz się i ucz. Popularne wyrażenie ▪ artykuł Co powoduje łupież? Szczegółowa odpowiedź ▪ artykuł Generator MHD. Laboratorium naukowe dla dzieci ▪ artykuł Trochę o płytkach drukowanych. Encyklopedia elektroniki radiowej i elektrotechniki ▪ artykuł Nierozłączne siódemki. Sekret ostrości
Strona główna | biblioteka | Artykuły | Mapa stony | Recenzje witryn
www.diagram.com.ua |
Polecamy ciekawe artykuły Sekcja 
Zobacz inne artykuły Sekcja 
Najnowsze wiadomości o nauce i technologii, nowa elektronika:
Wszystkie języki tej strony