|
Arabic
Bengali
Chinese
English
French
German
Hebrew
Hindi
Italian
Japanese
Korean
Malay
Polish
Portuguese
Spanish
Turkish
Ukrainian
Vietnamese
NAJWAŻNIEJSZE ODKRYCIA NAUKOWE
Podstawowe twierdzenie algebry. Historia i istota odkryć naukowych
Katalog / Najważniejsze odkrycia naukowe „Podstawowe twierdzenie algebry w postaci zdania: równanie algebraiczne ma tyle pierwiastków, ile jest jego stopnia, podane przez Girarda i Kartezjusz, - zauważa w swojej książce „W świecie równań” V.A. Nikiforowski. - Jego sformułowanie, polegające na rozłożeniu wielomianu algebraicznego o rzeczywistych współczynnikach na iloczyn rzeczywistych czynników liniowych i kwadratowych, należy do d'Alemberta i Euler. Euler po raz pierwszy doniósł o tym w liście do Mikołaja I Bernoulli (1687-1759) z dnia 1 września 1742 r. Z tego wynikało, że pierwiastki równań algebraicznych o współczynnikach rzeczywistych należą do ciała liczb zespolonych. Pierwszego dowodu twierdzenia dokonał w 1746 r. d'Alembert (1717-1783). Dowód d'Alemberta na fundamentalne twierdzenie algebry był jednak analityczny, a nie algebraiczny. Francuski matematyk posługiwał się pojęciami analizy, które w tamtym czasie jeszcze się nie ukształtowały, takimi jak szereg potęgowy, nieskończenie małe. Nic dziwnego, że dowód twierdzenia obarczony był błędami, a później został poddany druzgocącej krytyce. Gaussaa potem został zapomniany. Euler zrobił nowy i znaczący krok w dowodzie podstawowego twierdzenia algebry. Leonhard Euler (1707-1783) urodził się w Bazylei. Po nauce w domu trzynastoletni Leonard został wysłany przez ojca na Uniwersytet w Bazylei, aby studiować filozofię. Na tym wydziale studiowano m.in. elementarną matematykę i astronomię, którą wykładał Johann Bernoulli. Bernoulli wkrótce zauważył talent młodego słuchacza i zaczął uczyć się z nim osobno. Po uzyskaniu tytułu magistra w 1723 r., po wygłoszeniu przemówienia po łacinie na temat filozofii Kartezjusza i NiutonLeonard, na prośbę ojca, zaczął studiować języki orientalne i teologię. Ale coraz bardziej pociągała go matematyka. Euler zaczął odwiedzać dom swojego nauczyciela, a między nim a synami Johanna Bernoulliego - Nikołajem i Danielem - narodziła się przyjaźń, która odegrała bardzo ważną rolę w życiu Leonarda. W 1725 bracia Bernoulli zostali zaproszeni do członkostwa w Petersburskiej Akademii Nauk. Przyczynili się do tego, że Euler przeniósł się do Rosji. Odkrycia Eulera, które dzięki jego ożywionej korespondencji często stawały się znane na długo przed publikacją, sprawiają, że jego nazwisko jest coraz szerzej znane. Jego pozycja w Akademii Nauk poprawiała się, w 1727 r. rozpoczął pracę w randze adiunkta, czyli młodszego akademika, aw 1731 r. został profesorem fizyki, czyli członkiem rzeczywistym Akademii. W 1733 r. otrzymał katedrę matematyki wyższej, którą wcześniej piastował D. Bernoulli, który w tym samym roku wrócił do Bazylei. Wzrost autorytetu Eulera znalazł swoje szczególne odzwierciedlenie w kierowanych do niego listach jego nauczyciela Johanna Bernoulliego. W 1728 r. Bernoulli zwraca się do „najbardziej uczonego i utalentowanego młodzieńca Leonharda Eulera”, w 1737 r. - do „najsłynniejszego i dowcipnego matematyka”, aw 1745 r. - do „niezrównanego Leonharda Eulera - głowy matematyków”. W 1736 roku ukazały się dwa tomy jego mechaniki analitycznej. Popyt na tę książkę był ogromny. Napisano wiele artykułów na różne pytania dotyczące mechaniki, ale nie było jeszcze dobrego traktatu o mechanice. W 1738 r. ukazały się po niemiecku dwie części wstępu do arytmetyki, w 1739 r. nowa teoria muzyki. Pod koniec 1740 r. władza w Rosji przeszła w ręce regentki Anny Leopoldovnej i jej świty. W stolicy rozwinęła się niepokojąca sytuacja. W tym czasie król pruski Fryderyk II postanowił wskrzesić fundację Leibniz Towarzystwo Naukowe w Berlinie, prawie nieaktywne od wielu lat. Za pośrednictwem swojego ambasadora w Petersburgu król zaprosił Eulera do Berlina. Euler, wierząc, że „sytuacja zaczęła wydawać się raczej niepewna”, przyjął zaproszenie. W Berlinie Euler początkowo skupił wokół siebie małe towarzystwo naukowe, a następnie został zaproszony do nowo odrestaurowanej Królewskiej Akademii Nauk i mianowany dziekanem wydziału matematycznego. W 1743 opublikował pięć swoich wspomnień, w tym cztery o matematyce. Jedna z tych prac jest godna uwagi z dwóch powodów. Wskazuje sposób całkowania ułamków wymiernych przez rozłożenie ich na ułamki cząstkowe, a ponadto przedstawia typowy obecnie sposób całkowania liniowych równań zwyczajnych wyższego rzędu ze stałymi współczynnikami. Ogólnie rzecz biorąc, większość prac Eulera poświęcona jest analizie. Euler tak uprościł i uzupełnił całe obszerne działy analizy nieskończenie małych, całkowania funkcji, teorii szeregów, równań różniczkowych, które rozpoczęły się już przed nim, że przybrały one w przybliżeniu postać, która pozostaje w dużej mierze za nimi do tej pory. dzień. Euler rozpoczął także zupełnie nowy rozdział analizy, rachunek wariacyjny. Ta jego inicjatywa została wkrótce podchwycona przez Lagrange'a i powstała nowa nauka. Dowód Eulera na fundamentalne twierdzenie algebry został opublikowany w 1751 roku w pracy „Badania nad urojonymi pierwiastkami równań”. Euler wykonał najbardziej algebraiczny dowód twierdzenia. Później jego główne idee zostały powtórzone i pogłębione przez innych matematyków. Tak więc metody badania równań zostały najpierw opracowane przez Lagrange'a, a następnie stały się integralną częścią teorii Galois. Głównym twierdzeniem było, że wszystkie pierwiastki równania należą do ciała liczb zespolonych. Aby udowodnić to stanowisko, Euler ustalił, że każdy wielomian o rzeczywistych współczynnikach można rozszerzyć do iloczynu rzeczywistych czynników liniowych lub kwadratowych. Wartości liczb, które nie są rzeczywiste, „Euler nazwał urojone”, pisze Nikiforovsky, „i wskazał, że są one zwykle uważane za te, które dają liczby rzeczywiste w parach w sumie i iloczynie. Dlatego jeśli są 2 urojone pierwiastków, to da to m rzeczywistą kwadratową czynników w reprezentacji wielomianowej Euler pisze: „Dlatego mówi się, że każde równanie, którego nie można rozłożyć na rzeczywiste czynniki pierwsze, zawsze ma rzeczywiste czynniki drugiego stopnia. Jednak nikt, o ile wiem, nie udowodnił jeszcze wystarczająco rygorystycznie prawdziwości tej opinii; Dlatego postaram się przedstawić mu dowód, który obejmuje wszystkie przypadki bez wyjątku”. Ta sama koncepcja miała Lagrange, Laplace i kilku innych zwolenników Eulera. Gauss się z nią nie zgadzał. Euler sformułował trzy twierdzenia, które wynikają z własności funkcji ciągłych. 1. Równanie nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Jeśli istnieje więcej niż jeden taki pierwiastek, to ich liczba jest nieparzysta. 2. Równanie parzystego stopnia albo ma parzystą liczbę pierwiastków rzeczywistych, albo nie ma ich wcale. 3. Równanie parzyste, w którym wyraz wolny jest ujemny, ma co najmniej dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków. Następnie Euler udowodnił twierdzenia o rozkładzie na liniowe i kwadratowe czynniki rzeczywiste wielomianów o rzeczywistych współczynnikach ... Udowadniając główne twierdzenie, Euler ustalił dwie właściwości równań algebraicznych: 1) racjonalną funkcję pierwiastków równania, która przyjmuje różne wartości dla wszystkich możliwych permutacji pierwiastków A, spełnia równanie stopnia A, współczynniki z których są racjonalnie wyrażone w postaci współczynników danego równania; 2) jeżeli funkcja wymierna pierwiastków równania jest niezmienna (nie zmienia się) względem permutacji pierwiastków, to wyraża się ją racjonalnie we współczynnikach pierwotnego równania. PS Laplace w wykładach z matematyki w 1795, za Eulerem i Lagrangem, dopuszcza faktoryzację wielomianu. Jednocześnie Laplace udowadnia, że będą prawdziwe. Tak więc zarówno Euler, jak i Lagrange, i Laplace zbudowali dowód podstawowego twierdzenia algebry przy założeniu istnienia pola rozkładowego wielomianu. Szczególną rolę w dowodach głównego twierdzenia ma „król matematyków” Gauss. Carl Friedrich Gauss urodził się (1777–1855) w Brunszwiku. Po krewnych ojca odziedziczył dobre zdrowie, a po krewnych matki bystry intelekt. W wieku siedmiu lat Karl Friedrich wstąpił do szkoły ludowej Catherine. W 1788 Gauss przeniósł się do gimnazjum. Nie uczy jednak matematyki. Uczy się tutaj języków klasycznych. Gauss lubi uczyć się języków i robi takie postępy, że nawet nie wie, kim chce zostać – matematykiem czy filologiem. Gauss jest znany na dworze. W 1791 roku został przedstawiony Karolowi Wilhelmowi Ferdynandowi, księciu Brunszwiku. Chłopiec odwiedza pałac i zabawia dworzan sztuką liczenia. Dzięki patronatowi księcia Gauss mógł w październiku 1795 roku wstąpić na Uniwersytet w Getyndze. Początkowo słucha wykładów z filologii i prawie nigdy nie uczęszcza na wykłady z matematyki. Ale to nie znaczy, że nie studiuje matematyki. W 1795 Gauss namiętnie interesuje się liczbami całkowitymi. Jesienią tego samego roku Gauss przeniósł się do Getyngi i dosłownie połknął literaturę, która po raz pierwszy wpadła mu w ręce: dzieła Eulera i Lagrange'a. „30 marca 1796 r. nadchodzi dla niego dzień twórczego chrztu. – pisze F. Klein – Gauss od jakiegoś czasu zajmuje się grupowaniem korzeni z jedności w oparciu o swoją teorię „pierwotnych” korzeni. A potem pewnego ranka budząc się nagle wyraźnie i wyraźnie zdał sobie sprawę, że konstrukcja siedemnastokąta wynika z jego teorii... To wydarzenie było punktem zwrotnym w życiu Gaussa.Postanawia poświęcić się nie filologii, ale wyłącznie matematyce ”. Praca Gaussa staje się na długi czas nieosiągalnym przykładem matematycznego odkrycia. Jeden z twórców geometrii nieeuklidesowej, Janos Bolyai, nazwał to „najwspanialszym odkryciem naszych czasów, a nawet wszechczasów”. Tylko trudno było zrozumieć to odkrycie! Dzięki listom do ojczyzny wielkiego norweskiego matematyka Abla, który udowodnił nierozwiązywalność równania piątego stopnia w pierwiastkach, wiemy o trudnej drodze, jaką przeszedł zgłębiając teorię Gaussa. W 1825 roku Abel pisze z Niemiec: „Nawet jeśli Gauss jest największym geniuszem, to oczywiście nie zabiegał o to, aby wszyscy od razu to zrozumieli…” Praca Gaussa inspiruje Abla do zbudowania teorii, w której „jest tak wielu wspaniałych twierdzenia, w które po prostu wierzy”. Nie ma wątpliwości, że Gauss wywarł również wpływ na Galois. Sam Gauss zachował wzruszającą miłość do swojego pierwszego odkrycia na całe życie. 30 marca 1796 roku, w dniu, w którym zbudowano siedemnastokąt foremny, rozpoczyna się pamiętnik Gaussa – kronika jego niezwykłych odkryć. Kolejny wpis w pamiętniku pojawił się 8 kwietnia. Poinformował o dowodzie twierdzenia o kwadratowym prawie wzajemności, które nazwał „złotym”. Udowodniono konkretne przypadki tego twierdzenia Farma, Eulera, Lagrange'a. Euler sformułował ogólne przypuszczenie, którego niepełny dowód podał Legendre. 8 kwietnia Gauss znalazł kompletny dowód hipotezy Eulera. Jednak Gauss nie wiedział jeszcze o pracy swoich wielkich poprzedników. Całą trudną ścieżkę do „złotego twierdzenia” przeszedł sam! Gauss dokonał dwóch wielkich odkryć w ciągu zaledwie 10 dni, na miesiąc przed ukończeniem 19 roku życia! Jednym z najbardziej zaskakujących aspektów „fenomenu Gaussa” jest to, że w swoich pierwszych pracach praktycznie nie opierał się na dokonaniach swoich poprzedników, odkrywając w krótkim czasie to, czego w teorii liczb dokonał w półtora wieku dzieła największych matematyków. W 1801 roku ukazały się słynne „Dochodzenia arytmetyczne” Gaussa. Ta ogromna książka (ponad 500 stron dużego formatu) zawiera główne wyniki Gaussa. „Arytmetyka” miała ogromny wpływ na dalszy rozwój teorii liczb i algebry. Prawa wzajemności wciąż zajmują jedno z centralnych miejsc w algebraicznej teorii liczb. W Brunszwiku Gauss nie miał okazji zapoznać się z literaturą niezbędną do pracy nad badaniami arytmetycznymi. Dlatego często jeździł do pobliskiego Helmstadt, gdzie znajdowała się dobra biblioteka. Tutaj, w 1798 roku, Gauss przygotował rozprawę poświęconą dowodowi podstawowego twierdzenia algebry. Gauss pozostawił cztery dowody podstawowego twierdzenia algebry. Pierwszemu dowodowi poświęcił swoją rozprawę doktorską, opublikowaną w 1799 r., zatytułowaną „Nowy dowód twierdzenia, że każda wymierna funkcja algebraiczna jednej niezmiennej może być rozłożona na czynniki rzeczywiste pierwszego i drugiego stopnia”. Gauss nie omieszkał zwrócić uwagi na luki u Eulera, a co najważniejsze, skrytykował samo sformułowanie pytania, kiedy z góry zakładano istnienie pierwiastków równań. Pierwszy dowód Gaussa, podobnie jak dowód d'Alemberta, był analityczny. W drugim dowodzie, wykonanym przez niego w 1815 roku, słynny matematyk ponownie powrócił do krytyki dowodu podstawowego twierdzenia algebry za pomocą rozumowania, gdy z góry zakłada się istnienie pierwiastków równania. Gauss wyjaśnił we wstępnym akapicie potrzebę nowego dowodu: „Chociaż dowód faktoryzacji całej funkcji wymiernej, który podałem w pamiętniku opublikowanym 16 lat temu, nie pozostawia nic do życzenia pod względem rygoru i prostoty, to należy mieć nadzieję, że matematycy nie uznają za niepożądane, abym ponownie wrócił do tej niezwykle ważnej kwestii i podjął się skonstruowania drugiego, nie mniej rygorystycznego dowodu, wychodząc z zupełnie innych zasad, na zasadach czysto analitycznych. Należy zauważyć, że to, co Gauss nazywa metodą analityczną, nazywa się dziś metodą algebraiczną. Jako dowód Gauss użył konstrukcji pola ekspansji wielomianu. Minęło ponad sześćdziesiąt lat, kiedy L Kronecker ulepszył i rozwinął metodę Gaussa do konstruowania pola ekspansji dowolnego wielomianu. Następnie Gauss podał jeszcze dwa dowody podstawowego twierdzenia algebry. Czwarty i ostatni odnosi się do 1848 roku. Główny wynik dowodów podstawowego twierdzenia algebry Eulera, Lagrange'a i Gaussa, I.G. Bashmakov powiedział, że „dowody algebraiczne fundamentalnego twierdzenia algebry są cenne właśnie dlatego, że dla ich implementacji opracowano nowe głębokie metody samej algebry i przetestowano siły już stworzonych metod i technik”. Autor: Samin D.K.
▪ Elektron
Nowy sposób kontrolowania i manipulowania sygnałami optycznymi
05.05.2024 Klawiatura Primium Seneca
05.05.2024 Otwarto najwyższe obserwatorium astronomiczne na świecie
04.05.2024
▪ Nowe wyświetlacze OLED można składać ponad 100000 XNUMX razy ▪ Robotyczna konserwacja radioteleskopu ▪ Zewnętrzne napędy optyczne Buffalo BRXL-PC6VU2-C
▪ sekcja serwisu Przedwzmacniacze. Wybór artykułu ▪ artykuł Czy łatwo być młodym? Popularne wyrażenie ▪ Skąd wziął się hokej na lodzie? Szczegółowa odpowiedź ▪ artykuł Asystent administracyjny. Opis pracy ▪ artykuł Obróbka wstępna tkanin przed barwieniem. Proste przepisy i porady ▪ Artykuł o erupcji wulkanu. Sekret ostrości
Strona główna | biblioteka | Artykuły | Mapa stony | Recenzje witryn
www.diagram.com.ua |
Polecamy ciekawe artykuły Sekcja 
Zobacz inne artykuły Sekcja 
Najnowsze wiadomości o nauce i technologii, nowa elektronika:
Wszystkie języki tej strony